مهروماه

چه چیزی یک معادله را زیبا می کند؟ در اینجا باید از یک سری حقایق تجربی چشم‌پوشی کرد: اینکه معادله کارساز واقع می شود یا خیر، می تواند داده‌های آزمایشی را پیش‌بینی کند یا خیر. این مسائل اهمیت ندارند. در اینجا، مسائل شخصی و ذهنی نمایان می شوند. برای این امر باید سه معیار را در نظر گرفت: زیبایی شناختی، سادگی و معناداری. جنبه زیبایی شناختی به این مسئله می پردازد که وقتی معادله‌ای نوشته می شود، زیبا به نظر برسد. سادگی به نبود ساختارهای پیچیده در معادله گفته می شود. معناداری ِ معادله تا حدودی به جنبۀ تاریخی آن مربوط می شود؛ اینکه چه چیزی را حل می کند و در پیشرفت‌های علمی آینده به چه چیزی ختم می شود. در زیر به ۱۰ معادله برتر از دیدگاه «سَم بریند»  فیزیکدان نظری ِ دانشگاه منچستر، توجه کنید (ترتیب خاصی برای معادلات در نظر گرفته نشده است.

۱-معادله جرم- انرژی اینشتین

این معادله یکی از پیامدهای نظریه نسبیت خاص اینشتین و مشهورترین معادله در فیزیک است. این معادله بیان می کند که جرم(m) و انرژی(E) با هم برابر و هم ارز هستند. ارتباط آنها بسیار ساده است و فقط جرم قدری دستکاری می شود. این معادله در ابتدا نشان داد که حتی جرم ِ در حال حرکت دارای انرژی ذاتی است.

همچنین این معادله در فیزیک ذرات و هسته‌ای نیز کاربرد دارد. بزرگترین تاثیر و شاید اتفاقی که بر ثبات آن افزود، توسعه و استفاده از بمب‌های اتمی در پایان جنگ جهانی دوم بود. این بمب‌ها بطرز وحشتناکی، استخراج مقدار عظیم انرژی از مقدار ناچیزی جرم را به نمایش گذاشتند.

۲-قانون دوم نیوتن

این معادله یکی از قدیمی‌ترین معادلات فیزیک است که در سال ۱۶۸۷ توسط آیزاک نیوتن نوشته شد و سنگ ِ بنای ریاضیات کلاسیک به شمار می رود. با این معادله، امکانِ محاسبه حرکتِ اجسامی که در معرض نیرو قرار می گیرند، فراهم می شود. نیرو(F) مساوی است با جرم(m)، ضربدر شتاب جرم(a). لذا برای آن بُرداری ترسیم می شود که از بزرگی و جهت برخوردار است

قانون دوم نیوتن اولین معادله‌ای است که دانش‌آموزان فیزیک در مدرسه با آن آشنا شده و یاد می گیرند، چرا که به دانش ریاضی پایه نیاز دارد. این معادله در طیف ِ بزرگی از مسائل به کار گرفته می شود؛ از حرکت ِ اتومبیل‌ها گرفته تا گردش سیاره‌ها به دور خورشید. نظریه مکانیک کوانتومی در اوایل دهه ۱۹۰۰ میلادی بر این معادله سایه افکند و قدری آن را به چالش کشید.

۳-معادله شرودینگر

از زمانی که نیوتن اساس ِ ریاضیات کلاسیک را ارائه داد، مکانیک کوانتومی بزرگترین دستاورد در فیزیک به شمار می رود. معادله شرودینگر که اروین شرودینگر در سال ۱۹۲۶ آن را نوشت، یک معادله کوانتومی برای قانون دوم نیوتن به شمار می رود. در این معادله، دو مفهوم اصلی مکانیک کوانتومی جلوه‌گر هستند: تابع موج(ψ) و عواملی که به منظور استخراج اطلاعات در تابع موج عمل می کنند. عاملِ استفاده شده در اینجا، هامیلتونین(H) است که انرژی را استخراج می کند.

دو نسخه برای این معادله وجود دارد؛ بسته به اینکه آیا تابع موج به لحاظ زمان و مکان، متغیر است یا فقط در بُعد مکان عمل می کند. اگرچه مکانیک کوانتومی یک موضوع پیچیده است، اما این معادلات به قدری ارزشمند هستند که حتی بدون دانش هم میتوان بر آنها ارج نهاد.

۴-قوانین ماکسول

قوانین ماکسول، مجموعه‌ای از چهار معادله هستند که به منظور ارائه توضیحی واحد برای الکتریسیته و مغناطیس، در کنار هم قرار گرفته‌اند. فیزیکدان ِ اسکاتلندی «جیمز کلرک ماکسول» در سال ۱۸۶۲ این قوانین را اعلام کرد. البته از آن زمان به بعد، قوانینش دستخوش تغییراتی شده و به صورت بهتری بیان شده‌ است. معادله اول به جریان میدان الکتریکی(E) به چگالی بار مربوط می شود.(ρ) قانون دوم بیان می کند که میدان‌های مغناطیسی(B)، تک قطبی ندارند. در حالیکه میدان‌های الکتریکی می توانند منبعی از بار منفی یا مثبت داشته باشند؛ مثل الکترون. میدان‌های مغناطیسی همواره قطب شمال و قطب جنوب دارند و هیچ منبع شاخصی وجود ندارد. دو معادله آخر نشان می دهند که میدان مغناطیسیِ در حال تغییر، یک میدان الکتریکی به وجود می آورد و بالعکس.

ماکسول این معادلات را در قالب معادلات موج برای میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی ترکیب کرد؛ وی به این نتیجه رسید که نور، یک موج الکترومغناطیسی است. این نتیجه‌گیری می تواند الهام‌بخش نظریه نسبیت خاص اینشتین هم باشد که می گوید سرعت نور ثابت است. صرف‌نظر از این واقعیت که این معادلات باعث درک الکتریسیته شد، پیامدشان هم به قدر کافی قابل توجه و بزرگ بوده است. چرا که پایه‌های انقلاب دیجیتال و کامپیوتری که امروزه برای انجام خیلی کارها از آن استفاده می کنید، بر این معادلات استوار است.

۵-قانون دوم ترمودینامیک

بر اساس این قانون، بی‌نظمی (آنتروپی-s) جهان ِ ما همواره در حال افزایش است. بی‌نظمی را میتوان بعنوان معیاری از اختلال تعریف کرد. قانون دوم ترمودینامیک بر افزایش بی‌نظمیِ جهان تاکید دارد. یکی از دیدگاه‌های فرعی این قانون بیان می کند که گرما فقط از اجسام ِ گرم به اجسام ِ سرد جریان یافته و منتقل می شود. این قانون کاربردهای عملی در طول انقلاب صنعتی داشته و در طراحی موتورهای بخار و گرما مورد استفاده قرار گرفته است.

این قانون پیامدهای عمیقی هم برای جهان ما دارد. با این قانون می توان برای پیکان ِ زمان تعریفی ارائه نمود. کلیپی را تصور کنید که در آن لیوانی به زمین انداخته شده و میشِکند. حالت اولیه، یک لیوان است و حالت نهایی، مجموعه‌ای از تکه‌های نامنظم و در هم ریخته است. نظریه بیگ بنگ را هم میتوان با این قانون توجیه کرد؛ هر چقدر در زمان به گذشته برمیگردید، جهان گرمتر می شود و البته منظم‌تر.

۶-معادله موج

معادله موج، یک معادله مَرتبه دوم است که انتشار امواج را توصیف می کند. این معادله، تغییر انتشار موج در زمان را به تغییر انتشار در مکان ارتباط داده و ضریبی از سرعت موج(v) میباشد. در مقایسه با معادلات دیگر، چندان شگفت‌انگیز نیست، اما به نوبه خود دارای اهمیت بوده و در مواردی نظیر امواج صوتی، امواج در سیالات، مکانیک کوانتوم و نسبیت عام؛ به کار رفته است.

با کشف معادله شرودینگر، این معادله عملا به معادله اصلی و پایه ای مکانیک کوانتومی تبدیل شد و مشابه همان نقشی را که معادله قانون دوم نیوتن بعنوان معادله پایه ای در مکانیک کلاسیک ایفا می کند در مکانیک کوانتومی بر عهده گرفت. بنابراین می توان گفت که با کشف معادله شرودینگر، مکانیک کوانتومی ساختار ریاضی نهایی خود را در قالب مکانیک موجی پیدا کرد و فرمول بندی آن تا حد زیادی کامل شد. کشف این معادله بسیار مهم، جایزه نوبل سال ۱۹۳۳ فیزیک را برای شرودینگر به ارمغان آورد. معادله شرودینگر دیدگاه فیزیکدان ها نسبت به اتم را نیز متحول کرد و مدل اتمی بسیار کامل تری را نسبت به مدل اتمی بوهر ارائه داد؛ مدلی بنام مدل اوربیتالی که امروزه نیز همچنان صادق است.

۷-معادلات میدان اینشتین

معادلات میدان اینشتین برای اولین‌بار در سال ۱۹۱۵ در نظریه نسبیت عام برای تشریح مبانی اساسی برهمکنش‌های گرانشی ارائه شد. بر این اساس، عامل جذب اجسام سبک‌تر توسط اجرام سنگین، انحنایی است که توسط این اجرام در فضا – زمان اطرافشان به وجود می آید. این نظریه دیدگاه ِ ما دربارۀ جهان را تغییر داد و از آن زمان به بعد با آزمایشات زیادی مورد تایید قرار گرفت. برای مثال، خمش نور در اطراف ستاره‌ها یا سیاره‌ها با این معادلات قابل توجیه است.

این فرمول در واقع ۱۰ معادلۀ دیفرانسیل جزئی را در بردارد و از نماد تانسور استفاده می کند (هر چیزی که شاخص داشته باشد یک تانسور است). سمت چپ معادله شامل تانسور اینشتین(G) است که اطلاعاتی در مورد منحنی فضا-زمان ارائه می دهد و به تانسور تنش-انرژی(T) مربوط می شود؛ این تانسور حاوی اطلاعاتی در مورد توزیع انرژی در جهان، در سمت راست معادله می باشد. عبارت ثابت کیهان‌شناسی(Λ) در معادله درج می شود و به انبساط جهان مربوط می شود، گرچه دانشمندان مطمئن نیستند که چه چیزی این انبساط را ایجاد کرده است. این نظریه درک ما از جهان را کاملأ تغییر داده و تاکنون به طور تجربی تأیید شده است. یک مثال زیبا از آن خمیدگی نور در اطراف ِ ستارگان است.

۸-اصل عدم قطعیت هایزنبرگ

اصل عدم قطعیت که در سال ۱۹۲۷ توسط ورنر هایزنبرگ معرفی شد، محدودیتی بر مکانیک کوانتومی اِعمال می کند. این اصل بیان می کند که هر چقدر درباره مومنتوم (تکانه-P) یک ذره اطمینان داشته باشید، همانقدر دربارۀ موقعیت(x) ذره بی‌خبر خواهید بود؛ این دو هرگز نمی توانند به طور دقیق شناخته شوند. یکی از سوء تفاهم‌های رایج این است که این تاثیر ناشی از مشکل در اندازه‌گیری میباشد. اما این مورد درست نیست. همچنین در سمت راست این فرمول، ثابت پلانک(h) قرار دارد که برابر با مقدار ناچیزی است.

پیش از هر چیز، اصل عدم قطعیت نشان می دهد که رفتار گذشته یک ذره بنیادی تا زمانی که اندازه‌گیری روی آن صورت نگرفته مشخص نمی شود. طبق نظر هایزنبرگ « مسیر، تنها زمانی که ما آن را مورد مشاهده قرار می دهیم، به وجود می آید.» ما تا زمانی که موقعیت چیزی را اندازه نگیریم نمی توانیم بفهمیم کجاست. همچنین او اذعان داشت که مسیر آینده یک ذره هم نمی تواند قایل پیش بینی باشد. به خاطر این عدم قطعیت‌های بزرگ و سرعت، در نتیجه آینده هم غیرقابل پیش‌بینی است.

۹-کوانتش تابش

این قانون برای اولین‌بار توسط ماکس پلانک برای حل مسئله تابش جسم سیاه ارائه شد و به نظریه کوانتوم ختم گردید. این قانون اعلام می دارد که انرژی الکترومغناطیسی فقط تا مقدار ِ معینی می تواند جذب یا منتشر شود. حالا یافته‌ها نشان می دهد که دلیل آن، تابش الکترومغناطیسی است، نَه موج پیوسته. بلکه فوتون‌های زیادی در این امر نقش دارند و انرژی فوتون(E) متناسب با فرکانس(f) است.

در آن زمان، این کار فقط یک ترفند ریاضی به حساب می آمد که پلانک از آن برای حل این مسئله بغرنج استفاده کرد. اما اینشتین این مفهوم را به فوتون‌ها نسبت داد و از این معادله امروزه بعنوان تولد نظریه کوانتوم یاد می شود.

۱۰-آنتروپی بولتزمن

این معادله کلیدی در مکانیک آماری توسط لودویگ بولتزمن معرفی شد. که آنتروپی (بی‌نظمی) حالت ماکرو(S) را به تعداد حالت‌های میکرو(W) نسبت می دهد. حالت میکرو(microstate) با تصریح ویژگی‌های هر ذره، سیستم را توصیف می کند. لذا حالاتی نظیر مومنتوم(تکانه) ذره و موقعیت ذره در اینجا اهمیت پیدا می کنند.

حالت ماکرو به ویژگی‌های جمعی گروهی از ذرات اشاره می کند، مثل دما، حجم و فشار. نکته کلیدی این است که حالت میکروی متعددی می توانند با آن حالت ماکرو تناسب داشته باشند. پس بی نظمی با آرایش ذرات در درون سیستم (سامانه) ارتباط دارد. این معادله می تواند برای به دست آوردن معادلات ترمودینامیکی نظیر “قوانین گاز ایده آل” مورد استفاده قرار گیرد.