مهروماه

لئونارد اویلر یکی از تاثیرگذارترین ریاضی‌دانان قرن ۱۸ است. نظریات و محاسبات این دانشمند، پایه‌های بسیاری از پیشرفت‌های علم ریاضیات را بنا کرد.

لئونارد اویلر (Leonhard Euler) ریاضی‌دان، فیزیک‌دان، منجم، استاد منطق و مهندس سوئیسی بود که کشفیات و نظریات ارزشمند و تاثیرگذاری در علم ریاضیات از خود بر جای گذاشت. از نظریات مهم این دانشمند می‌توان به محاسبات نامتناهی و نظریه‌ی گراف اشاره کرد. او در بسیاری از شاخه‌های علم ریاضیات مانند توپولوژی و آنالیز عددی نیز نقش پیشگامی داشت.

تحقیقات و مطالعات اویلر، پایه‌گذار بسیاری از واژه‌ها و مفاهیم ریاضیات مدرن امروزی نیز بوده است. از این موارد ترمینولوژی در آنالیزهای ریاضی می‌توان به عبارت تابع ریاضی اشاره کرد. اویلر علاوه بر ریاضیات، در علوم دیگری همچون مکانیک، دینامیک سیالات، اپتیک، نجوم و نظریه‌های موسیقی نیز فعالیت کرده است.

اویلر یکی از سرشناس‌ترین ریاضی‌دانان قرن ۱۸ میلادی بود و به نظر بسیاری از مورخان و ریاضی‌دانان،‌ سرشناس‌ترین آنها در طول تاریخ شناخته می‌شود. از او به‌عنوان یکی از ماهرترین و متخصص‌ترین ریاضی‌دانان تاریخ نیز یاد می‌شود. تعداد مقالات و تحقیقات نگارش شده از او، بیش از هر ریاضی‌دان دیگری است. اویلر که زمان زیادی از زندگی خود را در سن‌پترزبورگ روسیه گذراند، توسط ریاضی‌دان مشهور یعنی لاپلاس به‌عنوان یکی از ارزشمندترین منابع علم ریاضی شناخته شده است. لاپلاس در مورد او گفته است: «نوشته‌های اویلر را بخوانید، او استاد همه‌ی ما است.»

 
تولد و تحصیل

لئونارد اویلر در ۱۵ آوریل سال ۱۷۰۷ در بازل سوئیس به دنیا آمد. پدر او، پائول اویلر، در دانشگاه بازل، الهیات خوانده بود و در آنجا با ریاضی‌دان مشهور، یاکوب برنولی آشنا شده بود. در واقع، پائول اویلر با برادر یاکوب برنولی یعنی یوهان برنولی در زمان دانشجویی، در خانه‌ی یاکوب اقامت داشتند. در نهایت، پائول اویلر یک کشیس پروتستان شد و با مارگارت براکر ازدواج کرد. مارگارت یعنی مادر لئونارد نیز دختر یک کشیش پروتستان بود.

خانواده‌ی اویلر، یک سال پس از تولد لئونارد به شهر ریان در سوئیس نقل مکان کردند. پائول اویلر که به‌خاطر هم‌نشینی با خانواده‌ی ریاضی‌دان برنولی، با این علم آشنایی داشت، مفاهیم اولیه‌ی ریاضی و برخی علوم دیگر را به لئونارد آموزش داد. لئونارد برای آموزش بیشتر به مدرسه‌ای در بازل فرستاده شد و در آنجا نزد مادربزرگ مادری‌اش زندگی کرد. البته، مدرسه‌ی او کیفیت بسیار پایینی داشت و لئونارد، هیچ مفهوم خاصی از ریاضی را در این مدرسه نیاموخت.

لئونارد که به‌خاطر آموزش‌های اولیه‌ی پدر، به ریاضی علاقه‌مند شده بود، بدون توجه به ضعف سیستم آموزشی مدرسه، به‌صورت خودخوان یا با کلاس‌های خصوصی، به فرا گرفتن این علم پرداخت. پدر لئونارد علاقه داشت که پسرش راه او را ادامه دهد و به‌همین خاطر، او را به دانشگاه بازل فرستاد تا برای کشیش شدن، تحصیل کند.

لئونارد اویلر در سال ۱۷۲۰ و در سن ۱۴ سالگی وارد دانشگاه بازل شد. یوهان برنولی در داشنگاه متوجه استعداد و علاقه‌ی اویلر به ریاضیات شد. این دو، در جلسات خصوصی پرسش و پاسخ با هم ارتباط داشتند. در یک اتوبیوگرافی چاپ نشده از اویلر در مورد این کلاس‌ها نوشته شده است:

    با ورود به دانشگاه، شانس این را داشتم که با یک استاد مشهور ریاضی یعنی یوهان برنولی آشنا شوم. البته، او بسیار مشغول بود و آموزش دادن خصوصی به من را قبول نکرد. در عوض، او نصیحتی بسیار کاربردی به من کرد. برنولی، کتاب‌های ریاضیات دشوارتری را به من معرفی کرد و پیشنهاد داد تا آنها را با سرسختی و دقت تمام مطالعه کنم. اگر در مطالعه‌ی کتاب‌ها به مشکل بر می‌خوردم، یکشنبه‌ها عصر این اجازه را داشتم که سوالات خود را با او در میان بگذارم. این دانشمند هرآنچه که متوجه نمی‌شدم را به من آموزش داد.

اویلر در سال ۱۷۲۳ و پس از تحقیق و بررسی نظریات اسطوره‌هایی همچون نیوتون و دکارت، در رشته‌ی فلسفه از دانشگاه فارغ‌التحصیل شد. او سپس با پیروی از خواسته‌های پدر، مطالعه‌ی الهیات را در سال ۱۷۲۳ شروع کرد. البته او پس از مدتی متوجه شد که علاقه‌اش به ریاضیات، بسیار بیشتر از الهیات و زبا‌ن‌های یونانی و عبری است. در نهایت، او رضایت پدرش را به کمک یوهان برنولی جلب کرد تا مسیر مطالعاتی‌اش را به ریاضیات تغییر دهد. قطعا دوستی پدر اویلر با برنولی در دوران تحصیل، این متقاعد شدن را آسان‌تر کرده است.

لئونارد جوان در سال ۱۷۲۶ تحصیلاتش را در دانشگاه بازل به پایان رساند. او کتاب‌‌ها و مقالات زیادی را در زمان تحصیل در بازل مطالعه کرد. کالینگر، مورخ معاصر در کتاب خود لیستی از کتاب‌های مطالعه شده توسط اویلر و به پیشنهاد برنولی را جمع‌آوری کرده است. این مجموعه، شامل کتاب‌ها و مقالاتی از نیوتن،‌ دکارت، گالیله، یاموب برنولی، هرمان، تیلور و بسیاری دانشمندان بزرگ دیگر است.

تدریس و مطالعات مستقل

اولین مقاله‌ی مشهور اویلر در سال ۱۷۲۶ منتشر شد. این مقاله با مطالعه‌ی ماهیت و ساختار خم‌ها در ریاضیات منتشر شد. او در سال ۱۷۲۷، مقاله‌ای در مورد مسیرهای ریاضیاتی با عنوان reciprocal trajectories منتشر کرده و آن را برای جایزه‌ی بزرگ آکادمی پاریس با نام Grand Prize ارسال کرد. جایزه‌ی آن سال به بوگر متخصص ریاضیات مرتبط با کشتی‌ها رسید و مقاله‌ی اویلر، دوم شد.

پس از این موفقیت‌های اولیه، زمان آن رسیده بود تا اویلر جوان به موقعیتی کاری دست پیدا کند و آموزش دانشگاهی، بهترین موقعیت بود. پس از مرگ نیکولاس برنولی در سال ۱۷۲۶ در سن‌پترزبورگ، یک کرسی آموزشی برای برنولی آماده شد. مدیران دانشگاه از او برای تدریس کاربرد ریاضیات در مکانیک در فیزیولوژی، دعوت کردند. اویلر دعوت دانشگاه را با تاییدی اولیه قبول کرد اما برای سفر به روسیه، تا بهار ۱۷۲۶ مهلت گرفت. این کار او دو دلیل داشت. اول این که زمان کافی برای مطالعه‌ی مباحث مورد نظر را داشته باشد و دوم این که با مرگ استاد فیزیک دانشگاه بازل، در این دانشگاه نیز فرصتی برای او مهیا بود.

اویلر برای نشان دادن توانایی خود در فیزیک، مقاله‌ای در مورد آکوستیک نوشت. از آنجایی که عوامل و افراد زیادی در تصمیم‌گیری برای انتخاب استاد دانشگاه بازل نقش داشتند، اویلر برای جایگزینی استاد فیزیک انتخاب نشد. کارشناسان و مورخان، سن پایین او (۱۹ سال) را یکی از دلایل رد شدنش می‌دانند. کالینگر نیز در کتاب خود به این نکته اشاره می‌کند:

    این تصمیم در نهایت به سود اویلر تمام شد. چون او مجبور شد تا از یک جامعه‌ی کوچک به موقعیتی بسیار بهتر برای تحقیقات و کارهای فنی خود، نقل مکان کند.

سفر اویلر به روسیه از رودخانه‌ی راین، سفر با واگن و عبور از شهر لوبک برای رسیدن به سن‌پترزبورگ همراه بود. او در ۱۷ می سال ۱۷۲۷ به این شهر رسید و به آکادمی علوم آنجا ملحق شد. با پیشنهاد دنیل برنولی و یاکوب هرمان، اویلر به‌جای فعالیت در رشته‌ی فیزیولوژی که دلیل اصلی دعوتش بود، در بخش ریاضی و فیزیک آکادمی مشغول شد. او در این دانشگاه با دانشمندان و محققان بزرگی همنشینی داشت و پایه‌های پیشرفت‌های بعدی‌اش در روسیه بنا شد.

فعالیت اویلر در روسیه، مستلزم خدمت او به ارتش این کشور بود. او در سال ۱۷۲۷ تا ۱۷۳۰ به‌عنوان افسر بخش پزشکی نیروی دریایی این ارتش، مشغول به خدمت بود. دنیل برنولی، در سن‌پترزبورگ با اویلر زندگی می‌کرد. اویلر در سال ۱۷۳۰ به‌عنوان استاد فیزیک آکادمی سن‌پترزبورگ انتخاب شد. این پست جدید، او را به عضو دائمی آکادمی تبدیل کرد و در نتیجه، الزام به خدمت در ارتش از دوش او برداشته شد.

دنیل برنولی تا سال ۱۷۳۳ استاد ارشد ریاضیات در سن‌پترزبورگ بود. او در این سال، روسیه را به مقصد سوئیس ترک کرد و در نتیجه، اویلر کرسی استادی را تصاحب کرد. رسیدن به این مقام، وضعیت مالی این ریاضی‌دان بزرگ را بهبود داد و او در سال ۱۷۳۴ با کاترینا گسل، فرزند یک نقاش مشهور ژیمناسیوم سن‌پترزبروگ ازدواج کرد. این دو، ۱۳ فرزند داشتند که تنها ۵ نفر از آنها تا سن بلوغ زنده ماندند. اویلر در جایی گفته بود که بسیاری از یافته‌های علمی خود را در زمان خواباندن نوزاد یا بازی با فرزندان کشف کرده است.

فعالیت‌های اویلر در دهه‌ی ۱۷۳۰، عموما به پروژه‌های دولتی در زمینه‌های نقشه‌کشی، آموزش علوم، مغناطیس، موتورهای احترافی، مکانیک و مهندسی ساخت کشتی اختصاص داشته است. هسته‌ی تحقیقات اصلی او نیز در این زمان در حال شکل‌گیری بود. نظریه‌ی اعداد، معادلات دیفرانسیل، مکانیک منطقی و حسابان تغییرات، از زمینه‌های مطالعاتی او بودند. از نظر اویلر، این زمینه‌های مطالعاتی ارتباط و وابستگی شدیدی به یکدیگر داشتند. مطالعه‌ی نظریه‌ی اعداد، برای درک اساس حسابان مورد نیاز بود و توابع ویژه و محاسبات دیفرانسیلی، پایه‌های مکانیک منطقی بودند که مسائل حل نشده‌ی زیادی داشت.

در سال‌های میانی دهه‌ی ۱۷۳۰، مقالات متعدد و همچنین کتاب مشهور Mechanica از این ریاضی‌دان بزرگ منتشر شد. او در کتاب خود، دینامیک نیوتن را برای اولین بار به‌صورت آنالیزهای ریاضی شرح داده بود. این فعالیت‌های تحقیقاتی، زمینه‌ساز نظریات بزرگ بعدی دانشمند سوئیسی بودند.

اویلر در سال ۱۷۳۵ به بیماری شدیدی همراه با تب مبتلا شد که او را تا سرحد مرگ پیش برد. او تا زمان بهبود، خبر بیماری خود را از والدینش و همچنین خانواده‌ی برنولی در سوئیس مخفی کرده بود. مشکلات بینایی نیز در سال‌های بعدی به سراغ این ریاضی‌دان آمدند و در سال ۱۷۴۰، به‌خاطر فشار وارد شده از کارهای نقشه‌کشی، او یکی از چشمانش را از دست داد و چشم دیگر نیز نشانه‌هایی از بیماری مشابه داشت.

سفر به آلمان

با شروع دهه‌ی ۱۷۴۰، شهرت اویلر به اوج خود رسیده بود. او تا آن سال دو جایزه‌ی گرند پرایز پاریس را تصاحب کرده بود. شهرت این دانشمند باعث شد تا محافل علمی آلمان از او برای سفر به برلین دعوت کنند. اویلر ابتدا ترجیح داد تا در روسیه بماند اما مشکلات سیاسی آن سال‌ها و فشار بر فعالان خارجی، باعث شد تا دانشمند سوئیسی پیشنهاد بعدی آلمانی‌ها را قبول کند. قرار بر این بود که این دانشمند در آکادمی علوم برلین که جایگزین انجمن علوم بود، فعالیت کند. اویلر در ۱۹ ژوئن سال ۱۷۳۱، سن پترزبورگ را ترم کرد و در ۲۵ جولای، به برلین رسید.

اویلر در نامه‌ای به یکی از دوستانش در آن سال‌ها نوشته بود:

    من آزادم تا هر کاری که دوست دارم [در زمینّ‌ی تحقیقاتم] انجام دهم. پادشاه من را پروفسور خودش خطاب می‌کند. احساس خوشحال‌ترین فرد روی زمین را دارم.

اویلر پس از نقل مکان به برلین نیز هنوز از طرف دولت روسیه مقرری دریافت می‌کرد. او با این پول، برای آکادی سنت‌پترزبورگ کتاب و ابزار خرید، برای آنها گزارش‌های علمی می‌نوشت و به روس‌های جوان، آموزش می‌داد.

سرانجام در سال ۱۷۴۴، آکادی علوم برلین تاسیس شده و پیر لوئی موپرتوئی به‌عنوان رئیس آن انتخاب شد. اویلر نیز به‌عنوان رئیس بخش ریاضیات و همچنین معاون موپرتوئی مشغول به فعالیت شد. این دو دانشمند در سال‌های بعد به دوستان نزدیک یکدیگر تبدیل شدند. اویلر در آن سال‌ها فعالیت‌های زیادی برای این آکادمی انجام داد.

اویلر، مسئول آزمایشگاه و باغ‌های گیاه‌شناسی مجموعه بود. او در استخدام پرسنل، مدیریت مسائل مالی و به‌ظور اختصاصی، مدیریت انتشار تقویم‌ها و نقشه‌های جغرافیاییی متعدد را در این آکادمی عهده‌دار بود. فروش این نقشه‌ها و تقویم‌ها، منبع درآمد مناسبی برای آکادمی برلین بود. پادشاه آلمان نیز، حل مسائل کاربردی متعدد را بر عهده‌ی این دانشمند گذاشته بود. اصلاح سطح تراز کانال Finow و نظارت بر عملکرد سیستم آبی و لوله‌کشی اقامت‌گاه تابستانی پادشاه در San Souci از اقدامات اویلر در این زمینه بود.

فعالیت‌های اویلر در آلمان، هیچ‌گاه محدود نبودند. او در کمیته‌ی نظارت بر عملکرد کتابخانه و انتشارات علمی آکادمی نیز عضو بود. علاوه بر آن، او به‌عنوان مشاور به بخش‌های مختلف دولت آلمان اعم از بیمه، حقوق و مستمری، بازنشستگی و حتی ارتش نیز، خدمت می‌کرد. در کنار همه‌ی این کارها، خروجی تحقیقات علمی او در این زمان نیز مثال‌زدنی است.

اویلر در طول ۲۵ سالی که در آلمان بود، حدود ۳۸۰ مقاله نوشت. او کتاب‌هایی در مورد حسابان تغییرات، محاسبات مدارهای سیاره‌ها، مسائل نظامی و بالستیک، تحلیل و آنالیز، کشتی‌سازی و مسیریابی، حرکت ماه و محاسبات دیفرانسیلی منتشر کرد.

موپرتوئی در سال ۱۷۵۹ از دنیا رفت و اویلر در سمت مدیریت آکادمی برلین، جایگزین او شد. البته پادشاه آلمان (مشهور به فریدریش بزرگ) در آن زمان اجازه‌ی انتصاب لقب مدیریت را به اویلر نداد. اگرچه این دو در سال‌های قبل ارتباط خوبی با هم داشتند اما در این زمان، مشکلاتی میان آنها پدیدار شده بود. به‌هرحال، فریدریش پیشنهاد مدیریت آکادمی را به ژان لو رون دالامبر داد اما این ریاضی‌دان فرانسوی در ابتدا دعوت پادشاه آلمان را رد کرد. البته، اصرارهای بعدی فریدریش به دالامبر، این پیام را برای اویلر داشت که زمان ترک آلمان فرا رسیده است.

 
بازگشت به روسیه و سال‌های پایانی

لئونارد اویلر در سال ۱۷۶۶ به سن‌پترزبورگ بازگشت و این حرکت او، باعث عصبانیت شدید فریدریش آلمان شد. پس از رسیدن به روسیه، اویلر تقریبا نابینا شد. خانه‌ی او در روسیه در سال ۱۷۷۱ طعمه‌ی حریق شد و این دانشمند تنها توانست جان خودش و یادداشت‌های ریاضیاتی‌اش را نجات دهد. او در همان سال یک عمل جراحی برای بهبود بینایی‌اش انجام داد اما به نظر می‌رسد به خاطر عدم مراقبت صحیح توسط خودش، عمل جراحی آن‌چنان مفید نبوده و منجر به نابینایی کامل شد.

حافظه‌ی قوی این دانشمند باعث شد تا او حتی پس از نابینا شدن، تحقیقان خود را در زمینه‌ی اپتیک، جبر، حرکت ماه و موارد مشابه ادامه دهد. نکته‌ی قابل تامل این است که پس از بازگشت به روسیه و با وجود نابینایی، نیمی از آثار این دانشمند در آن زمان تالیف شوند. البته موفقیت‌های او در این زمینه، بدون کمک نیز نبوده‌اند. پسرهای اویلر یعنی یوهان آلبرشت اویلر، استاد فیزیک آکادمی سن‌پترزبروگ و کریستوف اویلر، افسر ارتش، در فعالیت‌های پدر به او کمک می‌کردند. دو عضو دیگر آکادمی یعنی کرافت و لکسل و همچنین ریاضی‌دان جوان، فاس که در سال ۱۷۷۲ به آکادمی دعوت شده بود، همگی در دسته‌ی مشاوران و دستیاران اویلر در آن سال‌ها بودند.

دستیارات علمی اویلر در سال‌های نابینایی، جایگاهی بالاتر از دستیاری یا منشی‌گری صرف داشتند. او مفهوم کلی کارها را برای آنها توضیح می‌داد و این دانشمندان، ایده‌ها را توسعه‌داده، جداول را محاسبه می‌کردند و حتی برخی اوقات مثال‌های مفهومی برای اثبات نظریه‌ها را فراهم می‌کردند. به‌عنوان مثال، اویلر در کتاب ۷۷۵ صفحه‌ای خود در مورد حرکت ماه، از دانشمندانی همچون کرافت و لکسل قدردانی کرده است. این کتاب در سال ۱۷۷۲ چاپ شد. فاس نیز در تهیه و انتشار بیش از ۲۵۰ مقاله به اویلر کمک کرد که در طول ۷ سال آماده شدند.

در ۱۸ سپتامبر سال ۱۷۸۳، اویلر روز خود را مانند روزهای دیگر سپری کرد. او چند درس ریاضی به نوه‌های خود داد، چند محاسبه در ارتباط با حرکت بالن‌ها با گچ روی تخته نوشت و سپس با لکسل و فاس در مورد سیاره‌ی تازه کشف شده‌ی اورانوس به صحبت پرداخت. حدود ساغت ۵ بعد از ظهر، او دچار خونریزی مغزی شد و تنها با گفتن عبارت «دارم می‌میرم» بیهوش شد. ساعت دقیق مرگ این دانشمند بزرگ، ۱۱ شب گزارش شده است. پیکر این دانشمند بزرگ در قبرستان شهر الکساندر نوسکی لاورا در روسیه دفن شد.

تصویر اویلر در ۶ سری از اسکناس‌های ۱۰ فرانکی سوئیس چاپ شده است. علاوه بر آن تعداد زیادی تمبر یادبود در روسیه، آلمان و سوئیس بها تصویر این دانشمند چاپ شده است. سیارک ۲۰۰۲ نیز به افتخار این دانشمند بزرگ، اویلر نام‌گذاری شده است. کلیسای لوتریانیسم، یکی از کلیساهای جامع مسیحیت غربی، از این دانشمند مسیحی در مراسم متعدد یاد کرده و در تقویم یادبودهای خود، تاریخ ۲۴ می را به او اختصاص داده است.

نظریات و آثار علمی ماندگار

پس از مرگ لئونارد اویلر، اکادمی علوم س‌پترزبورگ تا ۵۰ سال بعد هنوز آثاری از او را چاپ کرد. فعالیت‌های علمی این دانشمند بزرگ خصوصا در زمینه‌ی ریاضیات به قدری وسیع است که در یک مقاله‌ی بیوگرافی، امکان پرداختن به تمام آنها نیست. او در تمام تاریخ به‌عنوان پرکارترین ریاضی‌دان شناخته شده است. او تاثیر زیادی در پیشرفت مطالعه‌ی هندسه‌ی تحلیلی و مثلثات داشت. جالب است بدانید اویلر اولین کسی است که سینوس و کسینوس را به‌عنوان توابع ریاضیاتی معرفی کرد. پیش از او، بطلمیوس آنها را به‌عنوان وترهایی از دایره توصیف کرده بود.

همان‌طور که گفته شد، نقش این دانشمند بزرگ در پیشرفت هندسه، حسابان و تئوری اعداد، غیرقابل توصیف است. او با استفاده از آنالیز ریاضی، محاسبات دیفرانسلی لایبنیتس را روش نیوتن در محاسبه‌ی فاصله‌ها ترکیب کرد. او توابع بتا و گاما و همچنین فاکتور انتگرالی برای محاسبات دیفرانسلی را به دنیا معرفی کرد.

مکانیک پیوسته، نظریه‌ی حرکت ماه الکسی کلرو، مسئله‌ی سه جسم، الاستیک، آکوستیک، نظریه‌ی موجی نور، هیدرولیک و موسیقی، از زمینه‌های مطالعاتی لئونارد اویلر بودند. بنیان‌گذاری مفاهیم مکانیک تحلیلی نیز از دیگر دستاوردهای بزرگ این دانشمند سوئیسی است. او در سال ۱۷۳۴، مفهوم f را برای توابع معرفی کرد. علامت e برای ریشه‌ی لگاریتم طبیعی، علامت i برای جذر دوم عدد ۱-، علامت Π برای عدد پی، Σ برای محاسبه‌ی سری‌ها و علامت Δy در محاسبات دیفرانسیل، از یادگارهای این ریاضی‌دان هستند. در ادامه به بررسی برخی از مهم‌ترین دستاوردهای این دانشمند می‌پردازیم.

 
ریاضیات تحلیلی

در قرن ۱۸، محاسبات خرد یا Infinitesimal Calculus مسئله‌ی اصلی ریاضی‌دانان بود و خانواده‌ی برنولی به همراه اویلر، در خط مقدم این مسائل قرار داشتند. اگرچه برخی از نظریه‌ها و محاسبات اویلر در این زمینه در ریاضیات مدرن پذیرفته نیستند، اما او پایه‌های بسیاری از محاسبات بعدی را بنا نهاد. اویلر همیشه به تحلیل و استفاده از سری فوریه و همچنین توسعه‌ی آن برای بهبود آنالیزها معروف بوده است.

اویلر از سری فوریه برای محاسبه‌ی e و همچنین تانژانت معکوس استفاده می‌کرد. استفاده‌ی او از این سری باعث شد تا راه‌حل مسئله‌ی معروف بازل به دست این دانشمند کشف شود. مسئله‌ی بازل یک مسئله‌ی ریاضی بود که بسیاری از دانشمندان آن زمان قادر به حل آن نشده بودند. این مسئله، پایخ دقیق سری زیر و اثباتی بر صحیح بودن پاسخ را طلب می‌کند. اویلر در ۲۸ سالگی موفق به حل این مسئله شد و پاسخ π2/6 را برای آن عنوان کرد.

اویلر برای اثبات نظریه‌های تحلیلی، توابع نمایی و لگاریتم را معرفی کرد. او با استفاده از نظریه‌ی اعداد و سری‌های فوریه، بسیاری از مسائل لگاریتمی را حل کند. فرمول اویلر، یکی از دستاوردهای این محاسبات عددی است که رابطه‌ای را میان تابع نمایی و توابع مثلثاتی بیان می‌کند. یکی از حالت‌های این فرمول به اتحاد اویلر معروف شده است.

ریچارد فاینمن در جایی این اتحاد را مهم‌ترین فرمول ریاضی دانسته است. در سال ۱۹۸۸، خوانندگان مجله‌ی بزرگ ریاضی Mathematical Intelligencer در یک رای‌گیری این فرمول را زیباترین فرمول ریاضی در تاریخ نامیدند. نکته‌ی جالب این است که سه فرمول از پنج فرمول برتر این رای‌گیری،‌توسط اویلر معرفی شده بودند.

اویلر در تدوین نظریه‌ی توابع غیرجبری نیز فعالیت‌هایی داشت. او تابع گاما را در این بخش معرفی کرده و راه‌حلی نیز برای توابع کوارتت ارائه کرد. مفاهیم اولیه برای محاسبه‌ی انتگرال با حدود مختلط و همچنین آنالیزهای مختلط نیز از دستاوردهای اویلر در بخش ریاضیات تحلیلی هستند. در بخش حسابان متغیرها نیز مطالعات اویلر در نهایت به تابع معروف اویلر-لاگرانژ ختم شد.

اویلر از ریاضیات تحلیلی در حل مسائل آنالیز عددی نیز استفاده می‌کرد و با ترکیب دو بخش مهم از ریاضیات، مفهوم آنالیز تحلیلی عددی را بنا کرد. در پیشرفت‌های اولیه‌ی این بخش از ریاضیات، اویلر مفاهیمی همچون سری‌های هیپرگومتریک، توابع هایپربولیکی، و تقسیم‌های نامتناهی را تشریح کرد.

 
نظریه‌ی اعداد

علاقه‌ی اویلر به نظریه‌ی اعداد را می‌توان به ارتباط او با کریستسن گلدباخ مرتبط دانست. گلدباخ در آکادمی علوم سن‌پترزبورگ با اویلر دوست بود. مطالعات اولیه‌ی دنشمند سوئیسی در این زمینه، بر اساس نظریه‌های پیر دو فرما بود. اویلر برخی نظریه‌های دانشمند فرانسوی را تایید و برخی از آنها را رد یا اصلاح می‌کرد.

یکی از نتایج مطالعات اویلر در نظریه‌ی اعداد، حل تابع زتای ریمان با فرمولی جدید بود. از موارد دیگر در این زمینه می‌توان به حل اتحاد نیوتن، قضیه کوچک فرما، قضیه‌ فرما در جمع مجذور  و قضیه لاگرانژ اشاره کرد. نظریه‌ی اعداد کامل نیز که از زمان اقلیدس مورد بحث و مطالعه‌ی ریاضی‌دانان بوده است، توسط اویلر و با استفاده از آنالیز عددی تا حدودی بهبود یافت.

 
نظریه‌ی گراف

اویلر در سال ۱۷۳۵، راه‌حلی برای مسئله‌ی مشهور پل‌های کونیگسبرگ ارائه کرد. شهر کونیگسبرگ در پادشاهی پروس (آلمان) روی رودخانه‌ی پلگوریا واقع شده و از دو جزیره تشکیل می‌شد. این دو جزیره به‌وسیله‌ی ۷ پل به هم متصل بودند. مسئله‌ی مشهور این شهر می‌گفت آیا می‌توان مسیری را پیدا کرد که تنها با یک بار عبور کردن از روی هر پل، تمامی پل‌ها را طی کرده و به نقطه‌ی اول بازگشت. پاسخ این مسئله، منفی است. تحلیل این مسئله، مفهومی را به‌نام دور اویلری، به هندسه افزود.

دور اویلری یا پاسخ مسئله‌ی کونیگسبرگ، اولین قضیه در نظریه‌ی گراف بود. در نتبجه‌ی پیشرفت بیشتر در این مسئله، اویلر مسئال توپولوژیکی را نیز با محاسبات خود مورد بررسی قرار داد و مفهومی با نام مشخصه اویلر به ریاضیات و هندسه اضافه شد. مطالعه‌ی این مفهوم و همچنین پیشرفت دادن آن توسط بزرگانی همچون آگوستین لویی کوشی، علم توپولوژی را ایجاد کرد.

 
ریاضیات کاربردی

یکی از شاخه‌های مهم مطالعات اویلر، به پیاده‌سازی تحلیل‌های عددی و محاسبات عددی در حل مسائل واقعی جهان مربوط است. او از انواع ابزارها هچون اعداد برنولی، سری‌های فوریه و اعداد اویلر و همچنین انواع انتگرال‌ها برای حل این مسائل استفاده می‌کرد. در نهایت، این دانشمند نقش بزرگی در استفاده از ریاضیات برای حل مسائل فیزیکی داشت.

اویلر از مفاهیم ریاضی در موسیقی نیز استفاده می‌کرد. او در سال ۱۷۳۹ مقاله‌ای با عنوان Tentamen novae theoriae musicae منتشر کرد و در آن، به توضیح نظریه‌‌های موسیقی در ریاضیات پرداخت. البته این بخش از تحقیقات او، شهرت زیادی پیدا نکرد. کارشناسان، این مقاله را برای موسیقی‌دانان، بیش از حد ریاضیاتی و برای ریاضی‌دانان بیش از حد موسیقایی می‌دانند.

 
فیزیک و نجوم

اویلر در توسعه‌ی نظریه‌ی پرتو اویلر برنولی نقش داشت که امروزه به‌عنوان سنگ بنای مهندسی شناخته می‌شود. در واقع اویلر علاوه بر پیاده‌سازی فرمول‌ها در مسائل مکانیک کلاسیک، از آنها در حل مسائل نجومی و آسمانی نیز استفاده کرد. او با این ابزارها توانست مدار دقیق ستاره‌های دنباله‌دار و دیگر اجرام آسمانتی را محاسبه کند. در نتیجه‌ی تحقیقات او، توسعه‌ی جداول دقیق عرض جغرافیایی نیز انجام شد.

مطالعات اویلر در زمینه‌ی اپتیک نیز نتایج قابل توجهی داشته است. او با نظریه‌ی نیوتن در مورد نور به‌عنوان ذره مخالف بود. او در مقاله‌های خود در دهه‌ی ۱۷۴۰ با جدیت به این موضوع پرداخت تا در نهایت، نظریه‌ی نور به‌عنوان موج که توسط کریستیان هویگنس ارائه شده بود، به‌عنوان نظریه‌ی غالب پذیرفته شود. البته این نظریه تا زمان اثبات نظریه‌ی کوانتومی نور پابرجا بود.

 
منطق

اویلر در استفاده از منحنی‌های بسته در اثبات قیاس منطقی مشهور بود. این دیاگرام‌ها به‌عنوان دیاگرام اویلر مشهور شدند. این نمودارها بعدا با نام نمودارهای ون به شهرت رسیدند. نمودارهای اویلر یا ون، برای نشان دادن مجموعه‌های ریاضی، هم‌پوشانی و ارتباط آنها با یکدیگر و همچنین زیرمجموعه‌ها به کار می‌روند.

فعالیت اویلر در نقشه‌کشی نیز قابل توجه بود. او در پروژه‌ای دولتی روی این مسئله تمرکز داشت و به Delisle کمک کرد تا یخک نقشه از امپراطوری روسیه آماده کند. این نقشه با نام اطلس روسیه آماده و در سال ۱۷۴۵ به نمایش عمومی گذاشته شد. نقشه‌ی نهایی، از ۲۰ نقشه‌ی کوچک ساخته شده بود.